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|00000e40| 20 63 65 6e 74 65 72 65 | 64 20 61 74 20 74 68 65 | centere|d at the|
|00000e50| 0d 0a 09 67 69 76 65 6e | 20 70 6f 73 69 74 69 6f |...given| positio|
|00000e60| 6e 2e 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 64 65 66 70 72 69 6d |n...\end|{defprim|
|00000e70| 7d 0d 0a 4e 6f 74 65 20 | 74 68 61 74 20 65 6c 6c |}..Note |that ell|
|00000e80| 69 70 73 6f 69 64 73 20 | 6d 61 79 20 62 65 20 63 |ipsoids |may be c|
|00000e90| 72 65 61 74 65 64 20 62 | 79 20 61 70 70 6c 79 69 |reated b|y applyi|
|00000ea0| 6e 67 20 74 68 65 20 70 | 72 6f 70 65 72 20 73 63 |ng the p|roper sc|
|00000eb0| 61 6c 69 6e 67 0d 0a 74 | 6f 20 61 20 73 70 68 65 |aling..t|o a sphe|
|00000ec0| 72 65 2e 20 20 49 6e 76 | 65 72 73 65 20 6d 61 70 |re. Inv|erse map|
|00000ed0| 70 69 6e 67 20 6f 6e 20 | 74 68 65 20 73 70 68 65 |ping on |the sphe|
|00000ee0| 72 65 20 69 73 20 61 63 | 63 6f 6d 70 6c 69 73 68 |re is ac|complish|
|00000ef0| 65 64 0d 0a 62 79 20 63 | 6f 6d 70 75 74 69 6e 67 |ed..by c|omputing|
|00000f00| 20 74 68 65 20 6c 6f 6e | 67 69 74 75 64 65 20 61 | the lon|gitude a|
|00000f10| 6e 64 20 6c 61 74 69 74 | 75 64 65 20 6f 66 20 74 |nd latit|ude of t|
|00000f20| 68 65 20 70 6f 69 6e 74 | 20 6f 6e 20 74 68 65 20 |he point| on the |
|00000f30| 73 70 68 65 72 65 2c 0d | 0a 77 69 74 68 20 74 68 |sphere,.|.with th|
|00000f40| 65 20 24 75 24 20 76 61 | 6c 75 65 20 63 6f 72 72 |e $u$ va|lue corr|
|00000f50| 65 73 70 6f 6e 64 69 6e | 67 20 74 6f 20 6c 6f 6e |espondin|g to lon|
|00000f60| 67 69 74 75 64 65 20 61 | 6e 64 20 24 76 24 20 74 |gitude a|nd $v$ t|
|00000f70| 6f 20 6c 61 74 69 74 75 | 64 65 2e 0d 0a 4f 6e 20 |o latitu|de...On |
|00000f80| 61 6e 20 75 6e 74 72 61 | 6e 73 66 6f 72 6d 65 64 |an untra|nsformed|
|00000f90| 20 73 70 68 65 72 65 2c | 20 74 68 65 20 24 7a 24 | sphere,| the $z$|
|00000fa0| 20 61 78 69 73 20 64 65 | 66 69 6e 65 73 20 74 68 | axis de|fines th|
|00000fb0| 65 20 70 6f 6c 65 73 2c | 20 61 6e 64 20 74 68 65 |e poles,| and the|
|00000fc0| 0d 0a 24 78 24 20 61 78 | 69 73 20 69 6e 74 65 72 |..$x$ ax|is inter|
|00000fd0| 73 65 63 74 73 20 74 68 | 65 20 73 70 68 65 72 65 |sects th|e sphere|
|00000fe0| 20 61 74 20 24 75 20 3d | 20 30 24 2c 20 24 76 20 | at $u =| 0$, $v |
|00000ff0| 3d 20 30 2e 35 24 2e 20 | 20 54 68 65 72 65 20 61 |= 0.5$. | There a|
|00001000| 72 65 0d 0a 64 65 67 65 | 6e 65 72 61 63 69 65 73 |re..dege|neracies|
|00001010| 20 61 74 20 74 68 65 20 | 70 6f 6c 65 73 3a 20 74 | at the |poles: t|
|00001020| 68 65 20 73 6f 75 74 68 | 20 70 6f 6c 65 20 63 6f |he south| pole co|
|00001030| 6e 74 61 69 6e 73 20 61 | 6c 6c 20 70 6f 69 6e 74 |ntains a|ll point|
|00001040| 73 20 6f 66 0d 0a 6c 61 | 74 69 74 75 64 65 20 30 |s of..la|titude 0|
|00001050| 2e 2c 20 74 68 65 20 6e | 6f 72 74 68 20 61 6c 6c |., the n|orth all|
|00001060| 20 70 6f 69 6e 74 73 20 | 6f 66 20 6c 61 74 69 74 | points |of latit|
|00001070| 75 64 65 20 31 2e 0d 0a | 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e |ude 1...|..\begin|
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|00001090| 7b 7b 5c 65 6d 20 72 6d | 61 6a 6f 72 20 72 6d 69 |{{\em rm|ajor rmi|
|000010a0| 6e 6f 72 7d 20 5c 65 76 | 65 63 7b 63 65 6e 74 65 |nor} \ev|ec{cente|
|000010b0| 72 7d 20 5c 65 76 65 63 | 7b 75 70 7d 7d 0d 0a 09 |r} \evec|{up}}...|
|000010c0| 43 72 65 61 74 65 73 20 | 61 20 74 6f 72 75 73 20 |Creates |a torus |
|000010d0| 63 65 6e 74 65 72 65 64 | 20 61 74 20 5c 65 76 65 |centered| at \eve|
|000010e0| 63 7b 63 65 6e 74 65 72 | 7d 20 62 79 20 72 6f 74 |c{center|} by rot|
|000010f0| 61 74 69 6e 67 0d 0a 09 | 61 20 63 69 72 63 6c 65 |ating...|a circle|
|00001100| 20 77 69 74 68 20 74 68 | 65 20 67 69 76 65 6e 20 | with th|e given |
|00001110| 6d 69 6e 6f 72 20 72 61 | 64 69 75 73 20 61 72 6f |minor ra|dius aro|
|00001120| 75 6e 64 20 74 68 65 20 | 63 65 6e 74 65 72 0d 0a |und the |center..|
|00001130| 09 70 6f 69 6e 74 20 61 | 74 20 61 20 64 69 73 74 |.point a|t a dist|
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|00001170| 0a 49 6e 20 74 6f 72 69 | 20 69 6e 76 65 72 73 65 |.In tori| inverse|
|00001180| 20 6d 61 70 70 69 6e 67 | 2c 0d 0a 74 68 65 20 24 | mapping|,..the $|
|00001190| 75 24 20 76 61 6c 75 65 | 20 69 73 20 63 6f 6d 70 |u$ value| is comp|
|000011a0| 75 74 65 64 20 75 73 69 | 6e 67 20 74 68 65 20 61 |uted usi|ng the a|
|000011b0| 6e 67 6c 65 20 6f 66 20 | 72 6f 74 61 74 69 6f 6e |ngle of |rotation|
|000011c0| 20 61 62 6f 75 74 20 74 | 68 65 0d 0a 75 70 20 76 | about t|he..up v|
|000011d0| 65 63 74 6f 72 2c 20 61 | 6e 64 20 74 68 65 20 24 |ector, a|nd the $|
|000011e0| 76 24 20 76 61 6c 75 65 | 20 69 73 20 63 6f 6d 70 |v$ value| is comp|
|000011f0| 75 74 69 6e 67 20 74 68 | 65 20 61 6e 67 6c 65 20 |uting th|e angle |
|00001200| 6f 66 20 72 6f 74 61 74 | 69 6f 6e 0d 0a 61 72 6f |of rotat|ion..aro|
|00001210| 75 6e 64 20 74 68 65 20 | 74 75 62 65 2c 20 77 69 |und the |tube, wi|
|00001220| 74 68 20 24 76 3d 30 24 | 20 6f 63 63 75 72 69 6e |th $v=0$| occurin|
|00001230| 67 20 6f 6e 20 74 68 65 | 20 69 6e 6e 65 72 6d 6f |g on the| innermo|
|00001240| 73 74 20 70 6f 69 6e 74 | 20 6f 66 20 74 68 65 20 |st point| of the |
|00001250| 74 75 62 65 2e 0d 0a 0d | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |tube....|.\begin{|
|00001260| 64 65 66 70 72 69 6d 7d | 7b 74 72 69 61 6e 67 6c |defprim}|{triangl|
|00001270| 65 7d 7b 5c 65 76 65 63 | 7b 70 31 7d 20 5c 65 76 |e}{\evec|{p1} \ev|
|00001280| 65 63 7b 70 32 7d 20 5c | 65 76 65 63 7b 70 33 7d |ec{p2} \|evec{p3}|
|00001290| 7d 0d 0a 09 43 72 65 61 | 74 65 73 20 61 20 74 72 |}...Crea|tes a tr|
|000012a0| 69 61 6e 67 6c 65 20 77 | 69 74 68 20 74 68 65 20 |iangle w|ith the |
|000012b0| 67 69 76 65 6e 20 76 65 | 72 74 69 63 65 73 2e 0d |given ve|rtices..|
|000012c0| 0a 5c 65 6e 64 7b 64 65 | 66 70 72 69 6d 7d 0d 0a |.\end{de|fprim}..|
|000012d0| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 64 65 66 70 72 69 6d |..\begin|{defprim|
|000012e0| 7d 7b 74 72 69 61 6e 67 | 6c 65 7d 7b 5c 65 76 65 |}{triang|le}{\eve|
|000012f0| 63 7b 70 31 7d 20 5c 65 | 76 65 63 7b 6e 31 7d 20 |c{p1} \e|vec{n1} |
|00001300| 5c 65 76 65 63 7b 70 32 | 7d 20 5c 65 76 65 63 7b |\evec{p2|} \evec{|
|00001310| 6e 32 7d 0d 0a 09 5c 65 | 76 65 63 7b 70 33 7d 20 |n2}...\e|vec{p3} |
|00001320| 5c 65 76 65 63 7b 6e 33 | 7d 7d 0d 0a 09 43 72 65 |\evec{n3|}}...Cre|
|00001330| 61 74 65 73 20 61 20 50 | 68 6f 6e 67 2d 73 68 61 |ates a P|hong-sha|
|00001340| 64 65 64 20 74 72 69 61 | 6e 67 6c 65 20 77 69 74 |ded tria|ngle wit|
|00001350| 68 20 74 68 65 20 67 69 | 76 65 6e 20 76 65 72 74 |h the gi|ven vert|
|00001360| 69 63 65 73 20 61 6e 64 | 0d 0a 09 76 65 72 74 65 |ices and|...verte|
|00001370| 78 20 6e 6f 72 6d 61 6c | 73 2e 0d 0a 5c 65 6e 64 |x normal|s...\end|
|00001380| 7b 64 65 66 70 72 69 6d | 7d 0d 0a 46 6f 72 20 62 |{defprim|}..For b|
|00001390| 6f 74 68 20 50 68 6f 6e | 67 2d 20 61 6e 64 20 66 |oth Phon|g- and f|
|000013a0| 6c 61 74 2d 73 68 61 64 | 65 64 20 74 72 69 61 6e |lat-shad|ed trian|
|000013b0| 67 6c 65 73 2c 20 74 68 | 65 20 24 75 24 20 61 78 |gles, th|e $u$ ax|
|000013c0| 69 73 20 69 73 20 74 68 | 65 0d 0a 76 65 63 74 6f |is is th|e..vecto|
|000013d0| 72 20 66 72 6f 6d 20 5c | 65 76 65 63 7b 70 31 7d |r from \|evec{p1}|
|000013e0| 20 74 6f 20 5c 65 76 65 | 63 7b 70 32 7d 2c 20 61 | to \eve|c{p2}, a|
|000013f0| 6e 64 20 74 68 65 20 24 | 76 24 20 61 78 69 73 20 |nd the $|v$ axis |
|00001400| 74 68 65 20 76 65 63 74 | 6f 72 0d 0a 66 72 6f 6d |the vect|or..from|
|00001410| 20 5c 65 76 65 63 7b 70 | 31 7d 20 74 6f 20 5c 65 | \evec{p|1} to \e|
|00001420| 76 65 63 7b 70 33 7d 2e | 20 20 54 68 65 72 65 20 |vec{p3}.| There |
|00001430| 69 73 20 61 20 64 65 67 | 65 6e 65 72 61 63 79 20 |is a deg|eneracy |
|00001440| 61 74 0d 0a 5c 65 76 65 | 63 7b 70 33 7d 2c 20 77 |at..\eve|c{p3}, w|
|00001450| 68 69 63 68 20 63 6f 6e | 74 61 69 6e 73 20 61 6c |hich con|tains al|
|00001460| 6c 20 70 6f 69 6e 74 73 | 20 77 69 74 68 20 24 76 |l points| with $v|
|00001470| 20 3d 20 31 2e 30 24 2e | 20 20 54 68 69 73 20 64 | = 1.0$.| This d|
|00001480| 65 66 61 75 6c 74 0d 0a | 6d 61 70 70 69 6e 67 20 |efault..|mapping |
|00001490| 6d 61 79 20 62 65 20 6d | 6f 64 69 66 69 65 64 20 |may be m|odified |
|000014a0| 75 73 69 6e 67 20 74 68 | 65 20 7b 5c 74 74 20 74 |using th|e {\tt t|
|000014b0| 72 69 61 6e 67 6c 65 75 | 76 7d 20 70 72 69 6d 69 |riangleu|v} primi|
|000014c0| 74 69 76 65 20 64 65 73 | 63 72 69 62 65 64 0d 0a |tive des|cribed..|
|000014d0| 62 65 6c 6f 77 2e 0d 0a | 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e |below...|..\begin|
|000014e0| 7b 64 65 66 70 72 69 6d | 7d 7b 74 72 69 61 6e 67 |{defprim|}{triang|
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|00001500| 5c 65 76 65 63 7b 6e 31 | 7d 20 5c 65 76 65 63 7b |\evec{n1|} \evec{|
|00001510| 75 76 31 7d 0d 0a 20 20 | 5c 65 76 65 63 7b 70 32 |uv1}.. |\evec{p2|
|00001520| 7d 20 5c 65 76 65 63 7b | 6e 32 7d 20 5c 65 76 65 |} \evec{|n2} \eve|
|00001530| 63 7b 75 76 32 7d 0d 0a | 20 20 5c 65 76 65 63 7b |c{uv2}..| \evec{|
|00001540| 70 33 7d 20 5c 65 76 65 | 63 7b 6e 33 7d 20 5c 65 |p3} \eve|c{n3} \e|
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